在数学中,魏尔斯特拉来自斯函数(Weierstrass function)是一类处处连续而处处不可导的实值函数。

魏尔斯特拉斯函数是一种无法用笔画出任何一部分的函数，因360百科为每一点的导数都不存在，画的人无法知道每一点该朝哪个方向画。魏尔斯特拉斯函数的每一点的斜率也是不存在的。

• 中文名 魏尔斯特拉斯函数
• 外文名 Weierstrass function
• 性质 处处连续而处处不可导的实值函数，每一点的斜率也是不存在的
• 提出者 卡尔·魏尔斯特拉斯
• 出生日期 1815

信息简介

　　在数学中， 魏尔斯特拉斯函数(W来自eierstrass function)是一类处处连续而处处不可导的实值函数。魏尔斯斗罗总会室黄冲族特拉斯函数是一种无法用360百科笔画出任何一部分的函数，因为每一点的导数都不存在，画的人无法知道每一点该朝哪个方向画。魏尔斯特拉斯函数的每一点的斜率也是不存在的。魏尔斯特拉斯函数得名于十九世纪的德国数学家卡尔·魏尔斯特拉斯 使玉秋倒觉衣滑还座(Karl Theodor Wilhelm Weierstrass ； 1815–1897)。历史上，魏尔斯特拉斯函数是一个著名的数学反例。魏尔斯特拉斯之前，数学家们对函数的连续性优树见陆跟由承认识并不深刻。许多数学家认为除了少数一些特殊的点以外，连续的函数曲线在每一点上总会有斜率。魏尔斯特拉斯函数的出现说明了所谓的“病态”函数的存在性，改变了当时数学家对连续函数的看法。

魏尔斯特拉斯函数

基本构造

　　魏尔斯特拉斯的原作中给出的构造是：

　　：<math>f(x)= \su友史居王普镇m_{n=0} ^\infty a^n \cos(b^n \pi x)</math>，

　　其中<math>0<a<1</math>，<math>b</math> 为正的奇数，使得：

魏尔斯特拉斯函数

　　：<ma胞被速为村江th> ab > 1+\fr径乐ac{3}{2} \pi.</math>

　　这个函数育并周少湖初非完另以及它处处连续而又处燃尽二讨原这刚处不可导的证明首线答第概质次出现在魏尔斯特拉斯于1872年6月18日在广让语外鲁使状普鲁士科学院出版的一篇论文中。

　　证明这个函数处处连续并不困难。由案双否领机刚矿天于无穷级数的每一贵愿十获个函数项<math>a^n \cos(b^n \pi x)</math>的绝对值都小于常数<math>a^n</未块农住清校命math>，而正项级数 <math> \sum_{n=0} ^\infty a^n</math> 是收敛的。由比较审敛法可以知道原级数一致收各交目罪湖带取与战敛。因此，由于每一个拉盟函数项<math>a^n \cos(b^n \pi x)</math>都是<math>{红心令入晚触笑\mathbb R}</math>上的连续函数，级数和<math>f(x)</math> 也是<math>{\mathbb R}</math>上的连续函数。

　　下面证明函数处处候宣应任不可导：对一个给定的点<math>x \in {\mathbb R}</math>，证明的思路是找出趋于<math>x</math> 的两组不同的数列<math>(x_n)</math> 和 <math>(x'_n)</math>，使得

　　：<math>\l渐乐孔im \inf \frac{f(x_n) - f(x)}{x_n - x} > \lim \sup \frac{f(x'_n) - f(x)}{x'_n - x}.</math>

　　这与函数可导的定义矛盾，于是证明完毕。

　　一般人会直觉上认为连续的函数必然是近乎可导的。即使不可导，所谓不可导的点也必然只占整体的一小部分。根据魏尔斯特拉斯在他的论文中所描述，早期的许多数学家，包括高斯，都曾经假定连续函数不可导的部分是有限或可数的。这可能是因为直观上想象一个连续但在不可数个点上不可导的函数是很困难的事。当我们绘制函数的图像时，总会画出较为规则的图形，例如满足利普希茨条件的函数图像。

　　魏尔斯特拉斯函数可以被视为第一个分形函数，尽管这个名词当时还不存在。将魏尔斯特拉斯函数在任一点放大，所得到的局部图都和整体图形相似。因此，无论如何放大，函数图像都不会显得更加光滑，也不存在单调的区间。

稠密性

　　分析学的成果表明，魏尔斯特拉斯函数并不是连续函数中的少数几个特例之一。尽管它是“病态”函数的一种，但可以证明，这种病态的函数事实上不在“少数”，甚至比那些“规则”的函数“多得多”。

　　在测度论意义上：在配备了经典维纳测度γ 的连续函数空间C([0， 1]； R) 中，至少有一处可导的函数所构成的集合的测度是0，也就是说和处处不可导的函数相比是可以“忽略”的。