进制转换是人们利用符号环是载解愿铁注田来计数的方法。进制转换是由一组数码符号和两个基本因素"基数"与"位权"构成。基数是指，进位计数制中激出班负革的重印所采用的数码(数制中用来表示"量"的符号)的个数。位权是指，进位制中每一固定位置对应的来自单位值。

• 中文名称 进制转换
• 基本因素 基数和位权
• 基本解释 人们利用符号来计数的方法
• 基数 进位计数制中所采用的数码的个数

进制转换本质

　　我们是使用短除曲贵蒸她注务法将十进制转换成二进制。

　　"数制"只是一套符号系统来表示指称"量"的多少。伯置建米我们用"1"这个符号来表示一个这一"量"的概念。自然界的"量"是无穷的，我们不可能为每一个"量"都造一来自个符号，这样的系统没人记得住。所以必须用有限的符号按一定的规律进行排列组合来表示这无限的"量"。符号是有限的，这些符号按照某种规则进行排列组合的个数是无限的。十进制是10个符号的排列组合，二进制是2个符号的内述罗排列组合。

　　在进行进制转换时有一基本原则:转换后表达的"量"的多少不能发生改变。二进制中的111个苹果和十进制中的7个苹果是一样多的。

　　十进制中的数位排列是这样的…… 万 千 百 十 个 十分 百分 千分……

　　R进制中的数位排列是这样的……R^4 R^3R^2 R^1 R^0 R^-1 R^-2 R^-3……

　　可以看出相360百科邻的数位间相差进制的一次方。

　　以下部分来源:知乎网友

　　进制这事儿，说到底就是位值原理，即:同一个数字，放在不同的数位上，代表不同大小的"量"。例如:十进制中，百位上的1表示100，十位上的1表示10。

　　任何进制中，每个数都可以按位权展开成各个数位配儿若与了限察治找致句上的数字乘以对应数位别包办育给查销坐的位权，再相加的形式，如:

　　十进制的123=1×100+2×10+3×1

　　十进制的9876=9×1000+8×100+7×10+6×1

　　问:为啥相应的数位是1000、1矿领啊永名00、10、1?为啥不是4、3、2、1?

　　答:十进制，满十进一，再满十再进一，因此要则材想进到第三位，得有10×10;第4位得有10×10×10

　　这样我们就知道了:

　　对10进制，从低位到高位，依次要乘以10^0，10^1,10^2,矛10^3……，也就是1、10、100、1000

　　对2进制，从低位到高位，依次要乘以2^0，2^1,2^2,2^3……，也就是1、2、4、8、……

　　下面我们开始转换进制(以十进制换成二进制为例):

　　原来十进制咱们的数位叫 千位、百位、十位……

　　现在二进制某断职木数位变成了八位、四位、二位致很圆推位标哪慢呢……

　　模仿上面十进制先按位权展开的方式，把二进制数1011按权展开: 承带状余1011=1×2^3+0×2^2+1×2^1+1×2^0去界术含术将们=1×8+0×4+1×2+1×1=8+2+1=11

　　接下来我们进行十进制往二进制的转换:

　　比较小的数，直接通过拆分就可以转换回去

　　比如13，我们把数位摆好八位、四位、二位，不能写十六了，因为一旦"十六"那个数位上的符号是"1"，那就表示有1个16，即便后面数位上的符号全部是"0"，把这个二进制数按权位展开后，在按照十进制后林克管要儿报的运算规律计算，得到的数也大于13了。那最多就只能包含"八"这个数位。 13-8=5，5当中有4，5-4=1

　　好啦，我们知道13=1*8+1*4+0*2+1*1 把"1"、"1"、"0""1"这几个符号放到数位上去:

　　八位、四位、二位、一位

　　1 1 0 1

　　于是十进制数13=二进制数1101

　　现在你按照书上说的短除法来试试，会发现它和你凑数得到的结果刚好是一样的，为什叫物留总破乐识种么短除法可以实现进制的转换呢?为须谓某展查年名环粮占冷什么每次要除以进制呢?为什么要把余数倒着排列呢?

　　想究装帮要知道其中的道理的话，请仔细品味以下的递归原理(不知道递归没关系):

　　(1)一个十进制数321的末尾是1，意味着一定是……+1，省略号部分一定是10的倍数，所以一个十进制数末尾是1意味着十进制数除以进制10一定余1。所以第一次除以10之后的余数，应该放在十进制的最后一个数位"个位"，也就是说个位上的符号是1。

　　类比，一个二进制数111(注意，数值不等于上面十进制的111)末尾是1，意味着一定是……+1，前面的省略号部分都是2的倍数。所以一个二进制数末尾是1，担告阻意味着它对应的十进制数除以进制2一定余1。所以第一次除以2之后的余数，应该放在二进制的最后一个数位"一位"，也就是说一位上的符号是1。

　　(2)如果一个十进制数321"十位"是2，我们希望把它转换为(1)的情况。那么我们把这个十进制数的末尾抹掉，也就是减去"个位"上的1，再除以进制10，得到32。这样原来"十位"上的"2"就掉到了"个位"上。再把32做(1)的处理。

　　类比，如果一个二进制数111"二位"是1，我们希望把它转换为(1)的情况，那么我们把这个二进制数的末尾抹掉，也就是减去"一位"上的1，再除以进制2，得到11。这样原来"二位"上的"1"就掉到了"一位"上。再把11做(1)的处理。

　　总结:其实这个过程就是把各个数位上的符号求出来的过程。

　　现在你应该可以回答以下问题了:为什么短除法可以实现进制的转换呢?为什么每次要除以进制呢?为什么要把余数倒着排列呢?

　　R进制转换成十进制就是按权位展开，把展开式放到十进制下，再按照"十进制"的运算规律计算。因为是十进制，所以就允许使用2、3、4、5、6、7、8、9了。所以2的n次方就不用写成指数，而可以用另外的八个符号来表示了。

　　十进制--->二进制

　　对于整数部分，用被除数反复除以2，除第一次外，每次除以2均取前一次商的整数部分作被除数并依次记下每次的余数。另外，所得到的商的最后一位余数是所求二进制数的最高位。

　　对于小数部分，采用连续乘以基数2，并依次取出的整数部分，直至结果的小数部分为0为止。故该法称"乘基取整法"。

　　给你一个十进制，比如:6，如果将它转换成二进制数呢?

　　10进制数转换成二进制数，这是一个连续除以2的过程:

　　把要转换的数，除以2，得到商和余数，

　　将商继续除以2，直到商为0。最后将所有余数倒序排列，得到数就是转换结果。

　　听起来有些糊涂?结合例子来说明。比如要转换6为二进制数。

　　"把要转换的数，除以2，得到商和余数"。

　　那么:要转换的数是6， 6 ÷ 2，得到商是3，余数是0。

　　"将商继续除以2,直到商为0……"

　　现在商是3，还不是0，所以继续除以2。

　　那就: 3 ÷ 2, 得到商是1,余数是1。

　　"将商继续除以2，直到商为0……"

　　现在商是1，还不是0，所以继续除以2。

　　那就: 1 ÷ 2, 得到商是0，余数是1

　　"将商继续除以2，直到商为0……最后将所有余数倒序排列"

　　好极!现在商已经是0。

　　我们三次计算依次得到余数分别是:0、1、1，将所有余数倒序排列，那就是:110了!

　　6转换成二进制，结果是110。

　　把上面的一段改成用表格来表示，则为:

　　(在计算机中，÷用 / 来表示)

　　二进制--->十进制

　　二进制数转换为十进制数

　　二进制数第0位的权值是2的0次方，第1位的权值是2的1次方……

　　所以，设有一个二进制数:0110 0100，转换为10进制为:

　　下面是竖式:

　　0110 0100 换算成十进制

　　从右往左开始换算

　　第0位 0 * 2 = 0

　　第1位 0 * 2 = 0

　　第2位 1 * 2 = 4

　　第3位 0 * 2 = 0

　　第4位 0 * 2 = 0

　　第5位 1 * 2 = 32

　　第6位 1 * 2 = 64

　　第7位 0 * 2 = 0

　　公式:第N位2

　　---------------------------

　　100

　　用横式计算为:

　　0 * 2 + 0 * 2 + 1 * 2 + 0 * 2 + 0 * 2 + 1 * 2 + 1* 2 + 0 * 2 = 100

　　除0以外的数字0次方都是1，但0乘以多少都是0，所以我们也可以直接跳过值为0的位:

　　1 * 2 + 1 * 2 +1*2 = 100

　　十进制--->八进制

　　10进制数转换成8进制的方法，和转换为2进制的方法类似，唯一变化:除数由2变成8。

　　来看一个例子，如何将十进制数120转换成八进制数。

　　用表格表示:

　　120转换为8进制，结果为:170。

　　八进制--->十进制

　　八进制就是逢8进1。

　　八进制数采用 0~7这八数来表达一个数。

　　八进制数第0位的权值为8的0次方，第1位权值为8的1次方，第2位权值为8的2次方……

　　所以，设有一个八进制数:1507，转换为十进制为:

　　用竖式表示:

　　1507换算成十进制。

　　第0位 7 * 8 = 7

　　第1位 0 * 8 = 0

　　第2位 5 * 8 = 320

　　第3位 1 * 8 = 512

　　--------------------------

　　839

　　同样，我们也可以用横式直接计算:

　　7 * 8 + 0 * 8 + 5 * 8 + 1 * 8 = 839

　　结果是，八进制数 1507 转换成十进制数为 839

　　十进制--->十六进制

　　10进制数转换成16进制的方法，和转换为2进制的方法类似，唯一变化:除数由2变成16。

　　同样是120，转换成16进制则为:

　　120转换为16进制，结果为:78。

　　十六进制--->十进制

　　16进制就是逢16进1，但我们只有0~9这十个数字，所以我们用A，B，C，D，E，F这六个字母来分别表示10，11，12，13，14，15。字母不区分大小写。

　　十六进制数的第0位的权值为16的0次方，第1位的权值为16的1次方，第2位的权值为16的2次方……

　　所以，在第N(N从0开始)位上，如果是是数 X (X 大于等于0，并且X小于等于 15，即:F)表示的大小为 X * 16的N次方。

　　假设有一个十六进数 2AF5, 那么如何换算成10进制呢?

　　用竖式计算:

　　2AF5换算成10进制:

　　第0位: 5 * 16 = 5

　　第1位: F * 16 = 240

　　第2位: A * 16 = 2560

　　第3位: 2 * 16 = 8192

　　-------------------------------------

　　10997

　　直接计算就是:

　　5 * 16 + F * 16 + A * 16 + 2 * 16 = 10997

　　(别忘了，在上面的计算中，A表示10，而F表示15)

　　现在可以看出，所有进制换算成10进制，关键在于各自的权值不同。

　　假设有人问你，十进数 1234 为什么是 一千二百三十四?你可以给他这么一个算式:

　　1234 = 1 * 10 + 2 * 10 + 3 * 10 + 4 * 10

　　二进制--->八进制

　　(11001.101)(二)

　　整数部分: 从后往前每三位一组，缺位处用0填补，然后按十进制方法进行转化， 则有:

　　001=1

　　011=3

　　然后我们将结果按从下往上的顺序书写就是:31，那么这个31就是二进制11001的八进制形式

　　八进制--->二进制

　　(31.5)(八)

　　整数部分:从后往前每一位按十进制转化方式转化为三位二进制数，缺位处用0补充 则有:

　　1---->1---->001

　　3---->11

　　然后我们将结果按从下往上的顺序书写就是:11001，那么这个11001就是八进制31的二进制形式

　　二进制--->十六进制

　　二进制和十六进制的互相转换比较重要。不过这二者的转换却不用计算，每个C，C++程序员都能做到看见二进制数，直接就能转换为十六进制数，反之亦然。

　　我们也一样，只要学完这一小节，就能做到。

　　首先我们来看一个二进制数:1111，它是多少呢?

　　你可能还要这样计算:1 * 2 + 1 * 2 + 1 * 2 + 1 * 2 = 1 * 1 + 1 * 2 + 1 * 4 + 1 * 8 = 15。

　　然而，由于1111才4位，所以我们必须直接记住它每一位的权值，并且是从高位往低位记，:8、4、2、1。即，最高位的权值为2 = 8，然后依次是 2 = 4，2=2， 2 = 1。

　　记住8421，对于任意一个4位的二进制数，我们都可以很快算出它对应的10进制值。

　　下面列出四位二进制数xxxx 所有可能的值(中间略过部分)

　　二进制数要转换为十六进制，就是以4位一段，分别转换为十六进制。

　　如:

　　十六进制--->二进制

　　反过来，当我们看到 FD时，如何迅速将它转换为二进制数呢?

　　先转换F:

　　看到F，我们需知道它是15(可能你还不熟悉A~F这六个数)，然后15如何用8421凑呢?应该是8 + 4 + 2 + 1，所以四位全为1 :1111。

　　接着转换 D:

　　看到D，知道它是13，13如何用8421凑呢?应该是:8 + 4 + 1,即:1101。

　　所以,FD转换为二进制数，为: 1111 1101

　　由于十六进制转换成二进制相当直接，所以，我们需要将一个十进制数转换成2进制数时，也可以先转换成16进制，然后再转换成2进制。

　　比如，十进制数 1234转换成二制数，如果要一直除以2，直接得到2进制数，需要计算较多次数。所以我们可以先除以16，得到16进制数:

　　结果16进制为: 0x4D2

　　然后我们可直接写出0x4D2的二进制形式: 0100 1101 0010。

　　其中对映关系为:

　　0100 -- 4

　　1101 -- D

　　0010 -- 2

　　同样，如果一个二进制数很长，我们需要将它转换成10进制数时，除了前面学过的方法是，我们还可以先将这个二进制转换成16进制，然后再转换为10进制。

　　下面举例一个int类型的二进制数:

　　01101101 11100101 10101111 00011011

　　我们按四位一组转换为16进制: 6D E5 AF 1B

　　再转换为10进制:6*16+D*16+E*16+5*16+A*16+F*16+1*16+B*16=1,843,769,115

　　十进制--->负进制

　　下面是将十进制数转换为负R进制的公式:

　　N=(dmdm-1...d1d0)-R

　　=dm*(-R)+dm-1*(-R)-1+...+d1*(-R)+d0*(-R)

　　15=1*(-2)+0*(-2)+0*(-2)+1*(-2)+1*(-2)

　　=10011(-2)

负数

　　负数的进制转换稍微有些不同。

　　先把负数写为其补码形式(在此不议)，然后再根据二进制转换其它进制的方法进行。

　　例:要求把-9转换为八进制形式。则有:

　　-9的补码为1111 1111 1111 0111。从后往前三位一划，不足三位的加0

　　111---->7

　　110---->6

　　111---->7

　　111---->7

　　111---->7

　　001---->1

　　然后我们将结果按从下往上的顺序书写就是:177767，那么177767就是十进制数-9的八进制形式。

　　其实转化成任意进制都是一样的。

　　初学者最容易犯的错误!!!!!!!

　　犯错:(-617)D=(-1151)O=(-269)H

　　原因分析:如果是正数的话，上面的思路是正确的，但是由于正数和负数在原码、反码、补码转换上的差别，所以按照正数的求解思路去对负数进行求解是不对的。

　　正确的方法是:首先将-617用补码表示出来，然后再转换成八进制和十六进制(补码)即可。

　　注:二进制补码要用16位。

　　正确答案::(-617)D=(176627)O=(fd97)H

　　负数十进制转换成八进制或十六进制方法

　　如(-12)10=( )8=( )16

　　第一步:转换成二进制

　　1000 0000 0000 1100

　　第二步:补码，取反加一

　　注意:取反时符号位不变!

　　1111 1111 1111 0100

　　第三步:转换成八进制是三位一结合:177764(8)

　　转换成十六进制是四位一结合:fff4(16)

小数

控冷程即决生诗板　　最近有些朋友提了这样的问题"0.8的十六进制是换女规刻治多少?"

　　0.8、0.6、0.2... ...一些数字在进制之间的转化过程中确实存在麻烦。

　　就比如"0.8的十六进制"吧!

　　无论怎么乘以16，它的余数总也乘不尽来自，总是余0.8

　　具体方法如下:

　　0.8*16=12.8

　　0.8*16=12.8

　　取每一个结果的整数部分360百科为12既十六进制的C

　　如果题中要求精确到小数点王杆胶练知容星鲁再后3位那结果就是0.CCC

　　如果题中要求精确到小数点后4位那结果就是0.CCCC

　　现在OK了。

　　下面简单解释一下原理:

　　原理其实很简单，跟整数一样带，R进制的小数位分别为R^-1 R^-2 R^-3……

　　接着，短除法就相当于每次除以R^-1，根据负指数幂有关知识，除以R^-1相当于乘R，这就是该方法的原理。

C++

m进制转10进制

　　注:用C语言的格式化输入输出可以快速转换10进制，8进材远言真制和16进制。例子:10进制转16进制:

Java代码

　　Java代码实现十进制分别转换为十六，二，八很露研侵打带福附开进制。

　　核心思想就弦待燃志燃别是余数定理。