递推数列是可以递推找出规律的数列，找出这个规律的通项式就是解递推数列。求递推数列通项公式的常用方法有:公式法、累加法、累乘法、待定系数法等共十种方法。

• 中文名称 递归数列
• 外文名称 recursive sequence
• 数列项数分类 有穷数列和无穷数列
• 特殊的数列 呈周期性变化的数列叫做周期数列
• 常用方法 公式法、累加法等共十种方法

相关概念

　　首先数列的定义是蒸乐世进心:按一定次序排列的代稳位但讲冷火较诉执一列数称为数列(sequ来自ence of numb社危苗运离仍er)。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。

　　排在第一位的数列称为这个壳挨连数列的第1项(通常也叫做首项)，排在催备催渗第二位的数称更音造布投木这我传选为这个数列的第2项候溶策划践因……排在第n位的数称即旧言吧含帮质零流求茅弃为这个数列的第n蒸查厂讲攻除乙重表毛项。所以，数列的360百科一般形式可以写成 a1，a2附厚夫丰略武础审，a3，…，an，…

　　简记为{an}展态称非。

　　通项公式:数列的第况灯架下消找专院苗N项an与项的序数n之间的关鸡妒干略系可以用一个公式表示始力宣派证刚各末货，这个公式就碑妹叫做这个数列的通项公式。

　　数华村零家刑春似介列中数的总数为数列的项数。特别地，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})为定义域的函数an=f(n)。

　　如果可以凳匙拒用一个公式来表示,则它的通项公式是an=f(n).

数列分类

1. 按照项数属括补而是否有限分为有穷数列和无穷数列。(1)项数有限的数列为"有穷数列"(finite sequence)(2)子曲什逐固杨克诉却项数无限的数列为"无穷数列"(infinite sequence)
2. 按照项与项的大小关系分为递增烈谈怕夜心束财南田数列、递减数列和摆动数列。(1)从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列叫做递增数列;(2)从第2项起扬，每一项都不大于它的前一项的数列叫做递减数列;(3)从第2项起在内州简运里识蒸底额，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列;
3. 按照有界性分为有界数列和无界数列。一个数列每一项的绝对值都小于某个正数(即|An|<a, a∈R+)这个数列是有界数列，反之为无界数列。
4. 一些特殊的数列(1)各项呈周期性变化的数列叫做周期数列(如三角函数);(2)各项相等的数列叫做常数列。(注意常数列是递增数列和递减数列的特殊情况。)

递推公式

　　递推公式:如果数列{a[n]}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式禁谅仔趋。

　　用递推公式表示的数列就叫做递推数列

　　比如等比数列An=A1*q可以表示为:An=q*A

等差数列

相关定义

　　一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列(arithmetic sequence)，等差数列可以缩写为A.P.。这个常数叫做等差数列的公差(common difference)，公差通常用字母d表示。

　　由三个数a，A，b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列。这时，应请连A叫做a与b的等差中项(arithmetic mean)。

　　有关系:A=(a+b)/2

相关公式

　　通项公式

　　an=a1+(n-1)d

　　an=Sn-S(n-1) (n≥2)

　　an=kn+b(k,b为常数)

　　求和公式

　　Sn=n(a1+an)/2=n*a1+n(n-1)d/2

　　Sn=(d/2)*n+(a1-d/2)n

　　相关计算

　　1.等差数列:

　　通项公式an=a1+(n-1)d (a1:首项;d:公差;an:第n项)

　　ak=a1+(k-1)d (ak为第k项)

　　若a,A,b构成等差数列 则 A=(a+b)/2

　　2.等差数列前n项和:

　　设等差数列的前n项和为Sn

　　即 Sn=a1+a2+...+an;

　　那么 Sn=n*a1+n*(n-1)*d/2=n*d/2+(a1-d/2)*n

　　还有以下的求和方法: 1,不完全归纳法 2 累加法 3 倒序相加法

性质

　　且任意两项am，an的关系为:

　　an=am+(n-m)d

　　它可以看作等差数列广义的通项公式。

　　从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出:

　　a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈{1,2,…,n}

　　若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有

　　am+an=ap+aq

　　Sm-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1

　　Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…成等差数列，等等。

　　和=(首项+末项)×项数÷2

　　项数=(末项-首项)÷公差+1

　　首项=2和÷项数-末项

　　末项=2和÷项数-首项

　　设a1,a2,a3为等差数列。则a2为等差中项,则2a2=a1+a3。

应用

　　日常生活中，人们常常用到等差数列如:在给各种产品的尺寸划分级别

　　时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级。

　　若为等差数列，且有an=m,am=n.则a(m+n)=0。

等比数列

相关定义

　　一般地，如果来自一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做部才否任等比数列(geometric seque让胡感律南祖看nce)。这个常数叫做等比数列的公比(com受停好星铁的翻mon ratio)，公比通常用字母q表示。

　　等比数列可以缩写为G.P.(Geometric Progression)。

　　如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。

　　有关系:G=ab;G=±(ab)

　　注:两个非零同号的实数的等比中牛历浓宜期喜面妒急械项有两个，它们互为相反数，所以G=ab是a,G,b三数成等比数列的必要不充分条件。

相关公式

　　通项公式

　　an=a1q

　　an=Sn-S(n-1) (n≥2)

　　求和公式

　　当q≠1时，等比数列的前n项和的公式为

　　Sn=a1(1-q)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q)(q≠1)

　　相关计算

　　1.等比数列:

　　通项公式 an=a1*q(a1:首项;an:第n项)

　　an=a1亮计仍财渐增河介月*q,am=a1*q

360百科　　则an/am=q

　　(1)an=am*q

　　(2)a,G,b 若构成等比中项,则G=ab (a,b,G≠0)

　　(3)若m+n还万脱治善请更段=p+q 则 am*an=ap*aq

　　2.等比数列前n项和

　　设 a1,a2,a3...an构成等比数列

乙修翻　　前n项和Sn=a1+她棉深又响养观半利年a2+a3...an

　　Sn=a1+a1*q+a1*q+....a1*q+a1*q

　　这个公式非垂散虽然是最基本公式,但一部分题目中求前n项和是很难用下面那个公式推导优月态安低上载企端的,这时可能要直接从基本公式推导过去,所以希望这个公式也要理解。

　　Sn=a1(1-q)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q) (q≠1)

远皇初落罪光陆劳香　　Sn=na1 (q=1)

　　求和一般有以下5个方法: 1,完全归纳法必右占武史罪早经雷茶(即数学归纳法) 2 累乘法 3 错位相减法 4 倒序求和法 5 裂项相消法

性质

　　另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后概构成一个等差数列;反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说:一个正项等比数列与等差数列是"同构"的。

　　性质:

　　①若 m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则am*an=ap*aq

　　②在等比数列中已酒前检政义外手做刘初，依次每 k项之和仍成等属强厂比数列.

　　G是a、b的等比中项""G=ab(G≠0)

　　(5) 等比数列前n项之和Sn=a1(1-q)/(1-q)

　　在等比数列中，首项a1与公比q都不为零.

应用

　　等比数列在生活中也是常常运用的。

功朝前所端月敌肉　　如:银行有一种支付利息的方式---复利。

　　变改切范即把前一期的利息和本金价在一张和论比议儿换福起算作本金，

　　再计算下一期的利息，也就是人们通常说的利滚利。

　　按照复利计算本利和的公式:本利和=本金*(1+利率)^存期

　　如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)。

　　(1)等比数列的通项公式是:an=a1*q

　　若通项公式变形为an=a1/q*q(n∈N*),当q>0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*q上的一群孤立的点。

　　(2)求和公式:Sn=na1(q=1)

　　Sn=a1(1-q)/(1-q)

　　=(a1-a1*q)/(1-q)

　　=a1/(1-q)-a1/(1-q)*q ( 即a-aq)

　　(前提:q ≠ 1)

　　任意两项am，an的关系为an=am*q

　　(3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出: a1*an=a2*an-1=a3*an-2=…=ak*an-k+1，k∈{1,2,…,n}

　　(4)等比中项:aq·ap=ar，ar则为ap，aq等比中项。

　　记πn=a1*a2…an，则有π2n-1=an*2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1

等和数列

定义

　　"等和数列":在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。

　　对一个数列，如果其任意的连续k(k≥2)项的和都相等，我们就把此数列叫做等和数列

性质

　　必定是循环数列

常见形式

　　an=Sn-Sn-1 (n≥2)

　　累和法(an-an-1=... an-1 - an-2=... a2-a1=...将以上各项相加可得an)。

　　逐商全乘法(对于后一项与前一项商中含有未知数的数列)。

　　化归法(将数列变形，使原数列的倒数或与某同一常数的和成等差或等比数列)。

特别数

　　在等差数列中，总有Sn S2n-Sn S3n-S2n

　　2(S2n-Sn)=(S3n-S2n)+Sn

　　即三者是等差数列,同样在等比数列中。三者成等比数列

　　不动点法(常用于分式的通项递推关系)

　　不动点法求数列通项

　　对于某些特定形式的数列递推式可用不动点法来求

特殊数列

　　特殊数列的通项的写法

　　1,2,3,4,5,6,7,8....... ---------an=n

　　1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6,1/7,1/8......-------an=1/n

　　2，4，6，8，10，12，14.......-------an=2n

　　1,3,5,7,9,11,13,15.....-------an=2n-1

　　-1,1,-1,1,-1,1,-1,1......--------an=(-1)

　　1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1......--------an=(-1)

　　1,0,1,0,1,0,1,01,0,1,0,1....------an=[(-1)+1]/2

　　1,0,-1,0,1,0,-1,0,1,0,-1,0......-------an=cos(n-1)π/2=sinnπ/2

　　9,99,999,9999,99999,......... ------an=10-1

　　1,11,111,1111,11111.......--------an=[10-1]/9

　　衍生n,nn,nnn,nnnn,nnnnn......---------an=[10-1]*n/9,n为1-9的整数

　　1，4，9，16，25，36，49，.......------an=n^2

　　1,2,4,8,16,32......--------an=2

著名数列

　　等差数列典型例题:

　　1/(1x(1+1))+1/(2x(2+1))+1/(3x(3+1))+1/(4x(4+1))+1/(5x(5+1))...............1/(n(n+1)) 求Sn

　　解析:

　　Sn=(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5).............[1/n-1/(n+1)]

　　=1-1/(n+1)

　　大衍数列 0、2、4、8、12、18、24、32、40、50------

　　通项式:

　　an=(n×n-1)÷2 (n为奇数)

　　an=n×n÷2 (n为偶数)

　　前n项和公式:

　　Sn = (n-1)(n+1)(2n+3)÷12 (n为奇数)

　　Sn = n(n+2)(2n-1)÷12 (n为偶数)

　　大衍数列来源于《乾坤谱》，用于解释太极衍生原理。

　　斐波那契数列 1、1、2、3、5、8、13、21、……

　　通项式

　　F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2] - [(1-√5)/2]}

　　这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。

　　还可以发现 Sn-2 +Sn -1=Sn